La Distribution Gaussienne et le Bruit de Capteur¶

La forme en cloche¶

Si tu prends 1000 lectures du sonar et que tu traces un histogramme, tu obtiens quelque chose qui ressemble à une cloche symétrique : la plupart des valeurs sont proches de la vraie distance, et de moins en moins de valeurs s'en éloignent. C'est la distribution gaussienne (ou distribution normale).

Elle est définie par seulement deux paramètres :

µ (mu) : la moyenne — le centre de la cloche
σ² (sigma carré) : la variance — la largeur de la cloche

Sa formule est :

\[p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]

Bonne nouvelle : on n'a presque jamais besoin de calculer cette formule directement. Ce qui compte, c'est l'intuition : µ et σ² suffisent à décrire complètement le bruit d'un capteur.

La règle des 68-95-99.7¶

Voici la règle pratique la plus utile des gaussiennes :

Plage	Probabilité
µ ± 1σ	~68% des mesures
µ ± 2σ	~95% des mesures
µ ± 3σ	~99.7% des mesures

Exemple : sonar à 40 cm, σ = 2 cm

68% des lectures tomberont entre 38 et 42 cm
95% des lectures tomberont entre 36 et 44 cm
Presque toutes les lectures tomberont entre 34 et 46 cm

Pourquoi les gaussiennes sont pratiques¶

Les gaussiennes ont une propriété extraordinaire : elles se combinent de façon très simple.

Addition de variables indépendantes — si on additionne deux variables aléatoires, leurs moyennes et variances s'additionnent :

\[\mu_{x_1 + x_2} = \mu_{x_1} + \mu_{x_2}\]

\[\sigma^2_{x_1 + x_2} = \sigma^2_{x_1} + \sigma^2_{x_2}\]

Mise à l'échelle — si on multiplie par une constante a, la variance est multipliée par a² :

\[\sigma^2_{ax} = a^2 \cdot \sigma^2_x\]

Ces deux règles sont toute l'algèbre dont le filtre de Kalman a besoin. Chaque étape du filtre — prédiction et correction — n'est rien d'autre que ces manipulations simples.

Application au Ranger : modéliser le bruit de chaque capteur¶

Sonar¶

Le sonar mesure la distance. Son bruit est typiquement entre 1 et 3 cm pour des surfaces plates.

distance_mesurée = distance_réelle + bruit_sonar
bruit_sonar ~ N(0, σ²_sonar)

Encodeurs¶

Les encodeurs mesurent la rotation des roues. Le bruit provient surtout du glissement des roues. On peut estimer la variance en degrés² ou en cm² selon l'application.

position_mesurée = position_réelle + bruit_encodeur
bruit_encodeur ~ N(0, σ²_encodeur)

MPU-6050 (gyroscope)¶

Le gyroscope mesure la vitesse angulaire. Il a deux types de bruit : un bruit blanc (variance fixe) et une dérive (l'erreur qui s'accumule avec le temps). L'accéléromètre mesure l'accélération, mais il est très sensible aux vibrations des moteurs.

angle_mesuré = angle_réel + dérive + bruit_gyro

Code : visualiser la distribution en temps réel¶

Ce sketch Arduino envoie les lectures du sonar et du gyroscope au Serial Plotter pour visualiser leur distribution :

#include <MeAuriga.h>

MeUltrasonicSensor sonar(PORT_10);
MeGyro gyro(0, 0x69);

void setup() {
  Serial.begin(115200);
  gyro.begin();

  // En-têtes pour le Serial Plotter
  Serial.println("Sonar_cm\tAngle_X_deg");
}

void loop() {
  gyro.update();

  float distanceSonar = sonar.distanceCm();
  float angleX = gyro.getAngleX();

  Serial.print(distanceSonar, 2);
  Serial.print("\t");
  Serial.println(angleX, 2);

  delay(50);
}

Comment utiliser ce sketch

Garde le robot parfaitement immobile
Ouvre le Serial Plotter (Ctrl+Shift+L dans Arduino IDE)
Observe la dispersion autour de la valeur moyenne
Plus la trace est "épaisse", plus la variance est grande

La dérive du gyroscope : une gaussienne qui change de centre¶

Un phénomène important à comprendre : la dérive du gyroscope. Même au repos, getAngleX() augmente lentement avec le temps. Ce n'est pas du bruit gaussien pur — c'est une erreur systématique qui s'accumule.

#include <MeAuriga.h>

MeGyro gyro(0, 0x69);
unsigned long tempsDebut;

void setup() {
  Serial.begin(115200);
  gyro.begin();
  gyro.resetData();  // Remet les angles à zéro
  tempsDebut = millis();
  Serial.println("Temps_s\tAngle_Z_deg");
}

void loop() {
  gyro.update();

  float temps = (millis() - tempsDebut) / 1000.0;
  float angleZ = gyro.getAngleZ();

  Serial.print(temps, 2);
  Serial.print("\t");
  Serial.println(angleZ, 3);

  delay(100);
}

Laisse tourner ce sketch pendant 2-3 minutes avec le robot immobile. Tu verras l'angle dériver lentement — c'est exactement le problème que le filtre de Kalman va corriger en fusionnant avec d'autres capteurs.

Résumé¶

Concept	Ce que ça veut dire
Distribution gaussienne	La "cloche" qui décrit comment les erreurs se distribuent
µ (moyenne)	Vers où les mesures convergent
σ² (variance)	L'amplitude de la dispersion
Règle 68-95-99.7	Combien de mesures tombent dans ±1σ, ±2σ, ±3σ
Dérive	Erreur qui s'accumule — la vraie ennemie des gyroscopes

Dans la prochaine section, on verra comment la variance permet de quantifier la qualité d'un capteur et décider auquel faire confiance.